题目
题型:不详难度:来源:
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,试比较与Sn+1的大小,并说明理由.
答案
解析
又∵{an}的公差大于0,∴a5>a2,∴a2=3,a5=9.
∴d= ==2,a1=1.∴an="2n-1. " 2分
∵Tn=1-bn,∴b1=,
当n≥2时,Tn-1=1-bn-1,
∴bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1),
化简,得bn=bn-1,
∴{bn}是首项为,公比为的等比数列,
即bn=·=, 4分
∴an=2n-1,bn=. 5分
(2)∵Sn==n2,
∴Sn+1=(n+1)2,=. 6分
以下比较与Sn+1的大小:
当n=1时,=,S2=4,∴<S2,
当n=2时,=,S3=9,∴<S3,
当n=3时,=,S4=16,∴<S4,
当n=4时,=,S5=25,∴>S5.
猜想:n≥4时,>Sn+1. 8分
下面用数学归纳法证明:
①当n=4时,已证.
②假设当n="k" (k∈N*,k≥4)时,>Sk+1,即>(k+1)2.
那么n=k+1时,
==3·>3(k+1)2=3k2+6k+3
=(k2+4k+4)+2k2+2k-1>[(k+1)+1]2
=S(k+1)+1,
∴n=k+1时,>Sn+1也成立. 11分
由①②可知n∈N*,n≥4时,>Sn+1都成立. 14分
综上所述,当n=1,2,3时,<Sn+1,
当n≥4时,>Sn+1. 16分
核心考点
试题【已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-.(1)求数列{an}、{bn}的】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)试求出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)证明你的猜想,并求出an的表达式.
1+++…+≥(n∈N*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
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