题目

题型：不详难度：来源：

已知f(n)＝1＋n∈N^)，g(n)＝2(－1)(n∈N^)．
(1)当n＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)；
(2)由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．

答案

(1)当n＝1时，f(1)>g(1)；当n＝2时，f(2)>g(2)；当n＝3时，f(3)>g(3)．(2)f(n)>g(n)(n∈N^*)，

解析

(1)当n＝1时，f(1)>g(1)；当n＝2时，f(2)>g(2)；当n＝3时，f(3)>g(3)．
(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N^*)，即1＋>2(－1)(n∈N^*)．
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(－1)，f(1)>g(1)．
②假设当n＝k时，猜想成立，即1＋>2(－1)．
则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1＋＋>2(－1)＋＝2＋－2，而g(k＋1)＝2(－1)＝2－2，
下面转化为证明：.
只要证：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2，
需证：(2k＋3)²>4(k＋2)(k＋1)，即证：4k²＋12k＋9>4k²＋12k＋8，此式显然成立．
所以，当n＝k＋1时猜想也成立．综上可知：对n∈N^*，猜想都成立，
即1＋(n∈N^*)成立．