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题目
题型:上海难度:来源:
对于给定首项x0
3a

(a>0),由递推公式xn+1=
1
2
(xn+


a
xn
)(n∈N)得到数列{xn},对于任意的n∈N,都有xn
3a

,用数列{xn}可以计算
3a

的近似值.
(1)取x0=5,a=100,计算x1,x2,x3的值(精确到0.01);归纳出xn,xn+1,的大小关系;
(2)当n≥1时,证明:xn-xn+1
1
2
(xn-1-xn);
(3)当x0∈[5,10]时,用数列{xn}计算
3100

的近似值,要求|xn-xn+1|<10-4,请你估计n,并说明理由.
答案
(1)∵x0=5,a=100,xn+1=
1
2
(xn+


a
xn

∴x1=
1
2
(5+


100
5
)≈4.74
同理可得x2≈4.67,x3≈4.65
猜想xn>xn+1
(2)证明:xn-xn+1-
1
2
(xn-1-xn)=xn-
1
2


a
xn
-
1
2
xn-1
=


a
2


xn
-


xn-1


xn-1xn

xn
3a


∴xn-xn+1=
1
2
(xn-


a
xn
)
=
1
2


xn3
-


a


xn
>0
∴xn>xn+1
xn-xn+1
1
2
(xn-1-xn)

(3)由(2)知0<xn-xn+1
1
2
(xn-1-xn)
<…<
1
2n
(x0-x1)

由题意,只要
1
2n
(x0-x1)<10-4
,即2n>104(x0-x1
x0-x1=
1
2
(x0-
10


x0
)

∴n>log2(104
10-


10
2
)
=15.1
∴n=16.
核心考点
试题【对于给定首项x0>3a(a>0),由递推公式xn+1=12(xn+axn)(n∈N)得到数列{xn},对于任意的n∈N,都有xn>3a,用数列{xn}可以计算3】;主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]
举一反三
用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a、b全为0(a、b∈R)”,其反设正确的是(  )
A.a、b至少有一个不为0B.a、b至少有一个为0
C.a、b全不为0D.a、b中只有一个为0
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用反证法证明命题“在函数f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一个不小于
1
2
”时,假设正确的是(  )
A.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一个小于
1
2
B.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有两个小于
1
2
C.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
1
2
D.假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
1
2
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当a>0时,函数f(x)=ax+
x-2
x+1
在(-1,+∞)是增函数,用反证法证明方程ax+
x-2
x+1
=0没有负数根.
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已知a,b,c均为实数,且a=x2-2y+
π
2
b=y2- 2z+
π
3
,c=z2-2x+
π
6
,求证:a,b,c中至少有一个大于0.
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用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(  )
A.假设至少有一个钝角
B.假设没有一个钝角
C.假设至少有两个钝角
D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角
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