（1）若a≥1，用分析法证明a+1+a-1＜2a；（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：（2a+1）（b+1）≥9． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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（1）若a≥1，用分析法证明

a+1

a-1

＜2

；
（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：（2a+1）（b+1）≥9．

答案

证明：（1）因a≥1，所以，要证

a+1

a-1

＜2

，
只需证明a+1+2

a2-1

+a-1＜4a，即证

a2-1

＜a，
只需证明a²-1＜a²，即-1＜0，
此不等式显然成立，于是

a+1

a-1

＜2

．
（2）因a，b都是正实数，所以，2a+b≥2

2ab

=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时等号成立，
∴（2a+1）（b+1）=2ab+（2a+b）+1≥4+4+1=9．

核心考点

试题【（1）若a≥1，用分析法证明a+1+a-1＜2a；（2）已知a，b都是正实数，且ab=2，求证：（2a+1）（b+1）≥9．】；主要考察你对不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）是R上的增函数，a，b∈R．证明下面两个命题：
（1）若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
（2）若f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b），则a+b＞0．

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求证：

＜

．

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设x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比较

x+y

与

3x-y

的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：

x+y

y+z

z+x

≥

xy+yz+zx

．

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求证：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²．

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先阅读下列不等式的证法：
已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求证：|a₁+a2|≤

．
证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，则f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+1，因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，故得|a₁+a2|≤

．
再解决下列问题：
（1）若a₁，a₂，a₃∈R，a₁²+a₂²+a₃²=1，求证|a₁+a2+a3|≤

；
（2）试将上述命题推广到n个实数，并证明你的结论．

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