题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=

ax2+bx

，存在正数b，使得f（x）的定义域和值域相同．
（1）求非零实数a的值；
（2）若函数g(x)=f(x)-

b

x

有零点，求b的最小值．

答案

（1）若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为D=[0，-

b

a

]．
由于此时[f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，
故函数的值域A=[0，

b

2 -a

]．
由题意，有-

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由f(x)-

b

x

=0，即

-4x2+bx

=

b

x

(0＜x≤

b

4

)，
得4x⁴-bx³+b²=0．
记h（x）=4x⁴-bx³+b²，
则h′（x）=16x³-3bx²，令h′（x）=0，x=

3b

16

∈(0，

b

4

]（10分）
易知h(x)在(0，

3b

16

]上递减；在[

3b

16

，

b

4

]上递增．
∴x=

3b

16

是h（x）的一个极小值点．（12分）
又h(

b

4

)=b2＞0，h(0)→b2＞0，∴由题意有：h(

3b

16

)≤0，（14分）
即4(

3b

16

)4-b(

3b

16

)3+b2≤0，∴b2≥

4

( 3 16 )3

，
故bmin=

128 3

9

．（16分）