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题目
题型:怀柔区二模难度:来源:
对于函数f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数,h(x)是否分别为f1(x),f2(x)的生成函数?并说明理由;
第一组:f1(x)=sinx,  f2(x)=cosx,  h(x)=sin(x+
π
3
)

第二组:f1(x)=x2-x,f2(x)=x2+x+1,h(x)=x2-x+1;
(Ⅱ)设f1(x)=log2x,  f2(x)=log
1
2
x,  a=2,  b=1
,生成函数h(x).若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,求实数t的取值范围;
(Ⅲ)设f1(x)=x,   f2(x)=
1
x
   (1≤x≤10)
,取a=1,b>0,生成函数h(x)使h(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
答案
(Ⅰ)①设asinx+bcosx=sin(x+
π
3
)
,即asinx+bcosx=
1
2
sinx+


3
2
cosx

a=
1
2
,  b=


3
2
,所以h(x)是f1(x),f2(x)的生成函数.(2分)
②设a(x2+x)+b(x2+x+1)=x2-x+1,即(a+b)x2+(a+b)x+b=x2-x+1,





a+b=1
a+b=-1
b=1
,该方程组无解.
所以h(x)不是f1(x),f2(x)的生成函数.(4分)

(Ⅱ)h(x)=2f1(x)+f2(x)=2log2x+log
1
2
x=log2x
(5分)
若不等式3h2(x)+2h(x)+t<0在x∈[2,4]上有解,
3h2(x)+2h(x)+t<0,即t<-3h2(x)-2h(x)=-3log22x-2log2x(7分)
设s=log2x,则s∈[1,2],y=-3log22x-2log2x=-3s2-2s,(9分)
ymax=-5,故,t<-5.(10分)

(Ⅲ)由题意,得h(x)=x+
b
x
  (1≤x≤10)

1°若


b
∈[1,  10]
,则h(x)在[ 1 , 


b
]
上递减,在[


b
,10]
上递增,
hmin=h(


b
)=2


b

所以





1≤


b
≤10
2


b
≥b
,得1≤b≤4(12分)
2°若


b
≤1
,则h(x)在[1,10]上递增,则hmin=h(1)=1+b,
所以







b
≤1
1+b≥b
,得0<b≤1.(14分)
3°若


b
≥10
,则h(x)在[1,10]上递减,则hmin=h(10)=10+
b
10
,故







b
≥10
10+
b
10
≥b
,无解
综上可知,0<b≤4.(16分)
核心考点
试题【对于函数f1(x),f2(x),h(x),如果存在实数a,b使得h(x)=a•f1(x)+b•f2(x),那么称h(x)为f1(x),f2(x)的生成函数.(Ⅰ】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(  )
(1)y1=
(x+3)(x-5)
x+3
,y2=x-5;
(2)y1=


x+1


x-1
,y2=


(x+1)(x-1)

(3)y1=x,y2=


x2

(4)y1=x,y2=
3x3


(5)y1=(


2x-5
)2
,y2=2x-5.
A.(1),(2)B.(2),(3)C.(4)D.(3),(5)
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已知函数f(x)=log2(x+1),当点(x,y)是y=f(x)的图象上的点时,点(
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x
3
设f:x→|x|是集合A到集合B的映射.若A={-2,0,2},则A∩B=(  )
A.{0}B.{2}C.{0,2}D.{-2,0}
已知函数f(x)=2x+1,x∈[1,5],则f(2x-3)=______.
对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”.
请你写出一个具有“稳定区间”的函数;(只要写出一个即可)
给出下列4个函数:
①f(x)=gx;②f(x)=x3,③f(x)=cos
π
2
x
④f(x)=lnx+1
其中存在“稳定区间”的函数有______.(填上正确的序号)