题目

题型：四川难度：来源：

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，

a

∈V，记

a

的象为f(

a

)．若映射f：V→V满足：对所有

a

，

b

∈V及任意实数λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(

0

)=

0

②对

a

∈V设f(

a

)=2

a

，则f是平面M上的线性变换；
③若

e

是平面M上的单位向量，对

a

∈V设f(

a

)=

a

-

e

，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，

a

，

b

∈V，若

a

，

b

共线，则f(

a

)，f(

b

)也共线．
其中真命题是______（写出所有真命题的序号）

答案

令

a

=

b

=

0

，λ=μ=1，
由题有f（

0

）=2f（

0

）⇒f（

0

）=

0

，故①正确；
由题f（λ

a

+μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
λf（

a

）+μf（

b

）=2λ

a

+2μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
即f（λ

a

+μ

b

）=λf（

a

）+μf（

b

），故②正确；
由题f（λ

a

+μ

b

）=λ

a

+μ

b

-

e

，
λf（

a

）+μf（

b

）=λ

a

-

e

+μ

b

-

e

，，
即f（λ

a

+μ

b

≠λf（

a

）+μf（

b

），故③不正确；
由题

b

=λ

a

，f（

0

）=f（

a

-λ

b

）=f（

a

）-λf（

b

）

0

⇒f（

a

）=λf（

b

），
即f（

a

），f（

b

）也共线，故④正确；
故答案为：①②④