题目
题型:不详难度:来源:
已知函数.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
答案
解析
(2)当m=时,不等式g(x)≥f(x),即x3+x≥x恒成立.
由于x>0,所以x2+1≥ln x+,亦即x2≥ln x+,所以a≥,
然后构造函数,转化为利用导数研究其单调性,极值,最大值即可.
(1)当m=-2时,f(x)=x(ln x-2)=xln x-2x,
定义域为(0,+∞),且f′(x)=ln x-1.
由f′(x)>0,得ln x-1>0,所以x>e.由f′(x)<0,得ln x-1<0,所以0<x<e.
故f(x)的单调递增区间是(e,+∞),递减区间是(0,e).
(2)当m=时,不等式g(x)≥f(x),即x3+x≥x恒成立.
由于x>0,所以x2+1≥ln x+,亦即x2≥ln x+,所以a≥ .
令h(x)= ,则h′(x)=,由h′(x)=0得x=1.
且当0<x<1时,h′(x)>0;当x>1时,h′(x)<0,
即h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)在x=1处取得极大值h(1)=,也就是函数h(x)在定义域上的最大值.因此要使≥恒成立,需有≥,的取值范围为.
核心考点
举一反三
(1)若函数f(x)的图象在处的切线斜率为3,求实数m的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)若函数在[1,2]上是减函数,求实数m的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(1)讨论函数f(x)的单调区间和极值;
(2)已知(e为自然对数的底数)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,求a的值并证明:x2>e.
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