题目

题型：不详难度：来源：

某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.
（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；
（Ⅱ）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高90元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？

答案

（Ⅰ）P=1-.
（Ⅱ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x≤90,所以x≤60，故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利.

解析

试题分析：（Ⅰ）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共可以有种不同的选法. 选出的3种商品中，没有日用商品的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-=1-.
（Ⅱ）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ,其所有可能的取值为，0，x,2x,3x.
ξ=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P（ξ=0）=()³=,
同理可得P(ξ=x)=()()²=,
P(ξ=2x)=()²()=,P(ξ=3x)=()³=.
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是
Eξ=0×+x·+2x·+3x·=1.5x.
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x≤90,所以x≤60，故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利.
点评：中档题，本题综合性较强，综合考查古典概型概率的计算，互斥（对立）事件的概率计算，数学期望的应用，及利用数学知识解决实际问题的能力。求出顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值，与商场的提价数额比较，即可求得结论。