题目

题型：不详难度：来源：

某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
②求该容器的建造费用最小时的r.

答案

①y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2②当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时，r＝ .

解析

①设容器的容积为V，
由题意知V＝πr²l＋πr³，又V＝，
∴l＝.
由于l≥2r，∴≥2r，∴0<r≤2.
所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr²c＝2πr××3＋4πr²c
因此，y＝4π(c－2)r²＋，0<r≤2.
②由①知y′＝8π(c－2)r－＝，
由于c>3，
∴c－2>0.由y′＝0得r＝
若0< <2，即c>时，此时0<r< 时，y′<0，<r<2时，y′>0.
∴r＝时，y取得极小值．
若 ≥2，即3<c≤时，0<r<2时，y′<0，函数单调递减，
∴r＝2时，y取得极小值．
总之，当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时，r＝ .