题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．
(1)求实数a的值组成的集合A；
(2)设x₁、x₂是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|恒成立，求实数m的取值范围．

答案

（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)

解析

(1)f′(x)＝，
因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，
f′(x)≥0恒成立，
令φ(x)＝x²－ax－2，即x²－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.
所以A＝{a|－1≤a≤1}．
(2)由f(x)＝得x²－ax－2＝0.
设x₁，x₂是方程x²－ax－2＝0的两个根，所以x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2.从而|x₁－x₂|＝，因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x₁－x₂|_max＝3，
不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，
即m²＋tm－2≥0恒成立．
设g(t)＝m²＋tm－2＝mt＋m²－2，则
解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)