题目
题型:不详难度:来源:
(1)数表如表1所示,若经过两“操”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1
1 | 2 | 3 | |
1 | 0 | 1 |
(2)数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;表2
(3)对由个实数组成的行列的任意一个数表,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数?请说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)改变行或列;(2)分两种情况考虑:①首先操作第三列,②首先操作第一行;(3)在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾.
试题解析:(1)解:法1:
法2:
法3:
(2)每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1;
①如果首先操作第三列,则有
则第一行之和为,第二行之和为,
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以或,
当时,则接下只能操作第一行,
此时每列之和分别为,
必有,解得,
当时,则接下操作第二行,
此时第4列之和为负,不符合题意.
②如果首先操作第一行,则有
则每一列之和分别为,,,,
当时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉,
当时,,至少有一个为负数,
所以此时必须有,即,所以或,
经检验,或符合要求,
综上:.
(3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数. 证明如下:
记数表中第行第列的实数为(),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,,,数表中个实数之和为,则.记
.
按要求操作一次时,使该行的行之和(或该列的列之和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立.
核心考点
试题【设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(1)数表如表1所示,若经过两“操”,】;主要考察你对常见矩阵变换等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求矩阵MN;
(2)若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0,1),求点P的坐标.
A. | B. | C. | D. |
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