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题目
题型:不详难度:来源:
是由个实数组成的列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.
(1)数表如表1所示,若经过两“操”,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1
1
2
3


1
0
1

(2)数表如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数的所有可能值;表2

(3)对由个实数组成的列的任意一个数表,能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数?请说明理由.
答案
(1)详见解析;(2);(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)改变行或列;(2)分两种情况考虑:①首先操作第三列,②首先操作第一行;(3)在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾.
试题解析:(1)解:法1:

法2:

法3:

(2)每一列所有数之和分别为2,0,,0,每一行所有数之和分别为,1;
①如果首先操作第三列,则有
则第一行之和为,第二行之和为
这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,
所以
时,则接下只能操作第一行,
此时每列之和分别为
必有,解得
时,则接下操作第二行,
此时第4列之和为负,不符合题意.    
②如果首先操作第一行,则有
则每一列之和分别为
时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉,
时,至少有一个为负数,
所以此时必须有,即,所以
经检验,符合要求,
综上:.
(3)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行之和与所有的列之和均为非负实数. 证明如下:
记数表中第行第列的实数为),各行的数字之和分别为,各列的数字之和分别为,数表中个实数之和为,则.记

.
按要求操作一次时,使该行的行之和(或该列的列之和)由负变正,都会引起(和)增大,从而也就使得增加,增加的幅度大于等于,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,必然小于等于最初的数表中个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止. 终止之时,必是所有的行之和与所有的列之和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立. 
核心考点
试题【设是由个实数组成的行列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.(1)数表如表1所示,若经过两“操”,】;主要考察你对常见矩阵变换等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知矩阵M=,N=
(1)求矩阵MN;
(2)若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0,1),求点P的坐标.
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已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点变换成,求矩阵M.
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已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量(1)求矩阵M.(2)求M5α.
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已知二阶矩阵M有特征值及对应的一个特征向量,并且矩阵M对应的变换将点变换成,求矩阵M..
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定义运算,若函数上单调递减,则实数的取值范围是(    )
A.B.C.D.

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