题目

题型：不详难度：来源：

(10分)选修4－1：几何证明选讲.
已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是的平分线交AE于点F，交AB于D点.

(1) 求的度数；
(2) 若AB=AC，求AC:BC.

答案

（1）；(2)

解析

本题考查的知识点是圆周角定理，三角形外角定理，弦切角定理，相似三角形的证明及性质等，本题中未给出任何角的度数，故建立∠ADF必为特殊角，从而根据图形分析角∠ADF的大小，进而寻出解答思路是解题的关键．
（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得∠B=∠EAC，结合DC是∠ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得∠ADF=∠AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出∠ADF的度数；
（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得∠ACB=30°，根据顶角为120°的等腰三角形三边之比为：1：1： 3，易得答案．
解：AC为圆O的切线,∴又知,DC是的平分线,
∴ ∴
即  又因为BE为圆O的直径, ∴
∴
(2),,∴∽∴
又AB="AC," ∴,
∴在Rt⊿ABE中,