题目

题型：高考真题难度：来源：

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin2（-25°）cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数;
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

答案

解：（1）选择（2），计算如下：sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°=1-sin30°=，
故这个常数为。
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin²α+cos²（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin²α+-sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin²α+cos²α+sin²α+sinαcosα-sinαcosα-sin²α=sin²α+cos²α=。