题目
题型:闸北区一模难度:来源:
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(1)计算:(2,3)⊙(-1,4);
(2)请用数学符号语言表述运算⊙满足交换律和结合律,并任选其一证明;
(3)A中是否存在唯一确定的元素I满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立,若存在,请求出元素I;若不存在,请说明理由;
(4)试延续对集合A的研究,请在A上拓展性地提出一个真命题,并说明命题为真的理由.
答案
(2)设A中的任意三个元素α=(a,b),β=(c,d),γ=(e,f)
交换律:α⊙β=(ad+bc,bd-ac)=β⊙α结合律:(α⊙β)⊙γ=(adf+bcf+bde-ace,bdf-acf-ade-bce)=α⊙(β⊙γ)
(3)假设存在I=(x,y),α=(a,b),则I⊙α=α,
即(x,y)⊙(a,b)=(a,b)⇔(
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①若α=(0,0),显然有I⊙α=α成立;
②若α≠(0,0),则
所以
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解得x=0,y=1.
所以,存在I=(0,1)满足:对于任意α∈A,都有α⊙I=I⊙α=α成立.
(4)①举例计算,如计算(1,-1)⊙(0,-1)等不给分.
②计算α⊙α=(2ab,b2-a2)、α⊙(-α)=(-2ab,a2-b2)、(a,b)⊙(1,0)=(b,-a)、(a,b)⊙(0,0)=(0,0)等.
③定义“加法”⊕:(a,b)⊗(c,d)=(a+c,b+d),
并解释合理性(验证α⊕α=(0,2)⊙α).
④证明消去律成立:(a,b)⊙(c,d)=(a,b)⊙(e,f)⇒(c,d)=(e,f).
⑤方程α⊙x=e当α≠(0,0)时有解,并求出解x=(
-a |
a2+b2 |
b |
a2+b2 |
⑥方程α⊙x=β当α≠(0,0)时有解,并求出解x=(
ad-bc |
a2+b2 |
-ac-bd |
a2+b2 |
⑦定义“逆运算※”,对于A中的任意两个元素α=(a,b)≠(0,0),β=(c,d),
规定:β※α=(
ad-bc |
a2+b2 |
-ac-bd |
a2+b2 |
核心考点
试题【在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在】;主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]
举一反三
a1 |
a0 |
a1 |
a0 |
1-(-1)n |
2 |
A.f(n+1)-f(n)=1 | B.f(n+k)=f(n)(k∈N*) |
C.αf(n)=f(n+1)+αf(n)(α≠0) | D.αf(n+1)=α-(α+1)f(n)(α≠0) |
2 |
2 |
2S |
a+b+c |