题目

题型：浙江省月考题难度：来源：

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1，
（Ⅰ）证明：EM⊥BF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的二面角的余弦值。

答案

解：（1）由题意，得，
如图，以A为坐标原点，垂直于AC、AC、AE所在的直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知条件得
，
∴，
由，
得，
∴EM⊥BF。
（2）由（1）知，
设平面BEF的法向量为，
由，
令，
∴，
由已知EA⊥平面ABC，
所以取面ABC的法向量为，
设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为θ，
则，
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为。