题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是A₁D₁和CC₁的中点。
（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求面EFB和底面ABCD所成角的余弦值大小。

答案

解：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
由已知得D（0，0，0）、A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）、
B₁（2，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2 ）、F（0，2，1），
（1）取AD₁中点G，则G（1，0，1），
=（1，-2，1），
又=（-1，2，-1），
由=，
∴与共线，
从而EF∥CG，
∵CG平面ACD₁，EF平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁。
（2）设面EFB的一个法向量，
由得，
故可取，
取底面ABCD的一个法向量，
由，
所成的锐二面角余弦值的大小为。