题目

题型：江西省期中题难度：来源：

在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点，如图1．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且，如图2（1 ）求证：SA⊥平面ABCD ；
（2 ）求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值；
（3 ）在线段BC 上是否存在点F ，使SF∥ 平面EAC ？若存在，确定F 的位置，若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）在题图1中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
所以在题图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，
所以BC⊥平面SAB，
又SA包含于平面SAB，
所以BC⊥SA，
又SA⊥AB，
所以SA⊥平面ABCD；
（2）在AD上取一点O，使，连接EO．
因为，
所以EO∥SA，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，则AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH，
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D的平面角，．
在Rt△AHO中，．，
即二面角E﹣AC﹣D的正切值为；
（3）当F为BC中点时，SF∥平面EAC，
理由如下：
取BC的中点F，连接DF交AC于M，连接EM，AD∥FC，
所以，
又由题意SF∥EM，
所以SF∥平面EAC，
即当F为BC的中点时，SF∥平面EAC。