题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
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答案
AB |
AD |
AA1 |
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(
a |
2 |
故
AD1 |
B1E |
a |
2 |
AB1 |
AE |
a |
2 |
∵
AD1 |
B1E |
∴B1E⊥AD1;
(II)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE.此时
DP |
又设平面B1AE的法向量
n |
∵
n |
n |
n |
|
n |
a |
2 |
要使DP∥平面B1AE,只要
n |
DP |
n |
DP |
a |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
又DP⊈平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=
1 |
2 |
(III)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(I)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴AD1是平面B1A1E的一个法向量,此时
AD1 |
设
AD1 |
n |
| ||||
|
|
-
| ||||||
|
∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,
∴|cosθ|=cos30°=
| ||
2 |
-
| ||||||
|
| ||
2 |
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核心考点
试题【如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.(Ⅰ)求证:B1E⊥AD1;(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:AB⊥平面PBC;
(2)设AB=BC,直线PA与平面ABC所成的角为45°,求异面直线AP与BC所成的角;
(3)在(2)的条件下,求二面角C-PA-B的余弦值.
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A.
| B.
| C.
| D.
|
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A.
| B.
| C.
| D.
|
( I)求二面角C-DE-C1的正切值;( II)求直线EC1与FD1所成的余弦值.
(Ⅰ)求
SC |
OB |
(Ⅱ)求OC与平面SBC夹角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角S-BC-O.
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