题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)证明:平面PCD⊥平面PAD;
(3)求二面角E-AC-D的正弦值.
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答案
四边形ABCD为正方形,PA⊥面ABCD,
以A为坐标原点,以AB为x轴,以AD为y轴,以AP为z轴,建立空间直角坐标系,
∵PA=AB=4,E为PD中点,
∴P(0,0,4),B(4,0,0),
A(0,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),E(0,2,2),
∴
PB |
AC |
AE |
设平面AEC的法向量
n |
则
n |
AC |
n |
AE |
∴
|
n |
∵
PB |
n |
∴PB∥平面AEC.
(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,
∵四边形ABCD为正方形,PA⊥面ABCD,
∴CD⊥AD,CD⊥PA,
∴CD⊥平面PAD,
∵CD⊂平面PCD,
∴平面PCD⊥平面PAD.
(3)∵平面ACD的法向量
m |
由(1)知平面AEC的法向量
n |
∴cos<
m |
n |
1 | ||
|
| ||
3 |
sin<
m |
n |
1-(
|
| ||
3 |
∴二面角E-AC-D的正弦值为
| ||
3 |
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核心考点
试题【如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AB=4,E为PD中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)证明:平面PCD⊥平】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若AC1⊥D1F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD1-D的余弦值.
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(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦.
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π |
4 |
(Ⅰ)求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD;
(Ⅱ)求二面角P-CD-A的余弦值.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106054134-63743.png)
(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AB所成角的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱PA上是否存在一点E,使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是
2 |
3 |
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(1)求证BE⊥B1C;
(2)求直线A1B与直线B1C所成角的正弦值.
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