题目
题型:不详难度:来源:
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为线段CD中点.
(1)求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值;
(2)若AB=2,求二面角A-B1E-
1的大小;
(3)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(1)求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值;
(2)若AB=2,求二面角A-B1E-
A | _ |
(3)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
答案
(1)分别以AB,AD,AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=a则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E(
,1,0),B1(a,0,1),
∴
=(0,1,1),
=(-
,1,-1),
=(a,0,1),
=(
,1,0),
∵
•
=1-1=0
∴B1E⊥AD1,
∴直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值为0;
(2)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(1)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴
是平面A1B1E的一个法向量,此时
=(0,1,1)
AB=2,设平面B1AE的法向量
=(x,y,z),则
=(2,0,1),
=(1,1,0)
∵
⊥平面B1AE,∴
⊥
,
⊥
,
得
取x=1,使得平面B1AE的一个法向量
=(1,-1,2),
设
与
所成的角为θ,则
cosθ=
=-
∴二面角A-B1E-A1的大小为30°;
(3)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)使得DP∥平面B1AE.此时
=(0,-1,z0)
又设AB的长度为a,平面B1AE的法向量
=(x,y,z),则
=(a,0,1),
=(
,1,0)
∵
⊥平面B1AE∴
⊥
,
⊥
得
取x=1,使得平面B1AE的一个法向量
=(1,
,-a)
要使DP∥平面B1AE,只要
⊥
,有
-az0=0,解得z0=
又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=
.
a |
2 |
∴
AD1 |
B1E |
a |
2 |
AB1 |
AE |
a |
2 |
∵
AD1 |
B1E |
∴B1E⊥AD1,
∴直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值为0;
(2)连接A1D,B1C,由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
由(1)知,B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1.
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴
AD1 |
AD1 |
AB=2,设平面B1AE的法向量
n |
AB1 |
AE |
∵
n |
n |
AB1 |
n |
AE |
得
|
取x=1,使得平面B1AE的一个法向量
n |
设
AD1 |
n |
cosθ=
| ||||
|
|
| ||
2 |
∴二面角A-B1E-A1的大小为30°;
(3)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0)使得DP∥平面B1AE.此时
DP |
又设AB的长度为a,平面B1AE的法向量
n |
AB1 |
AE |
a |
2 |
∵
n |
n |
AB1 |
n |
AE |
|
取x=1,使得平面B1AE的一个法向量
n |
-a |
2 |
要使DP∥平面B1AE,只要
n |
DP |
a |
2 |
1 |
2 |
又DP⊄平面B1AE,∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=
1 |
2 |
核心考点
试题【在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为线段CD中点.(1)求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值;(2)若AB=2,求二面角A-B1E-】;主要考察你对向量求夹角等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.
(1)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(2)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
(1)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.
(2)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.
如图,己知平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,AB=6,AD=3,G为CD中点,现将梯形ABCG沿着AG折起到AFEG.
(I)求证:直线CE∥直线BF;
(II)若直线GE与平面ABCD所成角为
.
①求证:FG⊥平面ABCD:
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值.
(I)求证:直线CE∥直线BF;
(II)若直线GE与平面ABCD所成角为
π |
6 |
①求证:FG⊥平面ABCD:
②求二面B一EF一A的平面角的余弦值.
已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=1,AD=2,∠ADC=60°,AF=a(a>0)
(Ⅰ)求证:AC⊥BF;
(Ⅱ)若二面角F-BD-A的大小为60°,求a的值.
(Ⅰ)求证:AC⊥BF;
(Ⅱ)若二面角F-BD-A的大小为60°,求a的值.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥P-ABCD的体积.
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