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题目
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如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.
(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.

答案
(Ⅰ)连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,
△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点,所以BE⊥CD,又AB∥CD,
所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以
PA⊥BE,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.

解: (Ⅱ)延长AD、BE相交于点F,连结PF.
过点A作AH⊥PB于H,由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中,因为∠BAF=60°,
所以,AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中,取PF的中点G,连接AG.
则AG⊥PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得,
PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(锐角).
在等腰Rt△PAF中,
在Rt△PAB中,
所以,在Rt△AHG中,
故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是
解析

核心考点
试题【如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知直线,则直线的关系是
A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能

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如图,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是_____________.

① AC∥平面CB1D1
 AC1⊥平面CB1D1
 AC1与底面ABCD所成角的正切值是
 与BD为异面直线。

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如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.                
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1.

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如图,在正三棱柱中,的中点,是线段上的动点,且
(1)若,求证:
(2) 求二面角的余弦值;
(3) 若直线与平面所成角的大小为,求的最大值.

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(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中AB="1," BC=, 点P为矩形ABCD所
在平面外一点,PA⊥平面ABCD,点E为PA的中点。

(Ⅰ)求证:PC//平面BED;
(Ⅱ)求直线BD与平面PAB所成的角的大小.
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