题目
题型:不详难度:来源:
如图所示, 四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD=,E为PD上一点,PE = 2ED.
(Ⅰ)求证:PA^平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角D-AC-E的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF // 平面AEC?若存在,指出F点的位置,并证明;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅱ)二面角D—AC―E的平面角的余弦值为;
(Ⅲ)存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC.
解析
(1)根据已知结合勾股定理和线面垂直的判定定理得到。
(2)建立空间直角坐标系,然后设出点的坐标和向量的坐标,借助于向量的数量积的性质,表示向量的夹角,得到二面角的平面角的求解。
(3)假设存在点PC的中点F, 使得BF//平面AEC.,那个根据假设推理论证,得到结论。
解:(Ⅰ) PA =" PD" =" 1" ,PD =" 2" ,
PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ^ AD ---2分
又PA ^ CD , AD , CD 相交于点D,
PA ^平面ABCD -------4分
(Ⅱ)过E作EG//PA 交AD于G,
从而EG ^平面ABCD,
且AG =" 2GD" , EG = PA = , ------5分
连接BD交AC于O, 过G作GH//OD ,交AC于H,
连接EH.GH ^ AC , EH ^ AC ,
Ð EHG为二面角D—AC―E的平面角. -----6分
tanÐEHG = = .二面角D—AC―E的平面角的余弦值为-------7分
(Ⅲ)以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则A(0 ,0, 0),B(1,0,0) ,C(1,1,0),P(0,0,1),E(0 , ,), = (1,1,0),
= (0 , , )
设平面AEC的法向量= (x, y,z) , 则
,即:, 令y =" 1" ,
则 = (- 1,1, - 2 ) -------------10分
假设侧棱PC上存在一点F, 且= ,
(0 £ £ 1), 使得:BF//平面AEC, 则× = 0.
又因为:= + = (0 ,1,0)+ (-,-,)= (-,1-,),
× =+ 1- - 2 =" 0" , = ,
所以存在PC的中点F, 使得BF//平面AEC. ----------------12分
核心考点
试题【(本小题满分12分)如图所示, 四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PA^CD,PA = 1, PD=,E为PD上一点,PE = 2ED.(Ⅰ)求证:P】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)试证:CD平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)求证:⊥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
A.若,,则; |
B.若,,则; |
C.若,,,则; |
D.若,,,则. |
(Ⅰ)当时,求证://平面
(Ⅱ)若直线与所成角为,试求二面角的余弦值.
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