题目

题型：不详难度：来源：

已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于G，∠ACB的平分线交⊙O于D，E在AC上，BE交AD于F，∠CBD=∠EBD．求证：DF=DG．

答案

证明：∵CB是⊙O的切线，
∴∠CBD=∠BAD．
∵BD平分∠EBC，
∴∠CBD=∠EBD．
Rt△ABD中，∠EBD+∠BFD=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠BFD=∠ABD．
又∵四边形AGDB内接于⊙O，


∴∠CGD=∠ABD=∠BFD．
过D作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，
∵点D是∠EBC和∠ECB角平分线的交点，
∴点D是△EBC的内心，则DM=DN．
又∵∠DMF=∠DNG=90°，∠BFD=∠CGD，
∴△DMF≌△DNG．
∴DF=DG．