题目

题型：不详难度：来源：

如图1，在边长为的正三角形中，，，分别为，，上的点，且满足.将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结，.（如图2）
 
（Ⅰ）求证：⊥平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.

答案

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

解析

(I)在平面图形中证明,即可.
(2)可以采用空间向量法求解，求出平面的法向量，那么与的夹角（锐角）与所求线面角互余.
（Ⅰ）证明：取中点，连结

因为，，
所以，而，即△是正三角形.又因为, 所以.所以在图2中有，.
所以为二面角的平面角. 
又二面角为直二面角，　所以.   
又因为,　所以⊥平面,即⊥平面.     
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知⊥平面，，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，.
在图１中，连结.因为，
所以∥，且.所以四边形为平行四边形.
所以∥，且.
故点的坐标为（1，，0）.图2
所以，，
不妨设平面的法向量，则
即令，得.
所以
故直线与平面所成角的大小为.