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题目
题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥中,顶点在底面内的射影恰好落在的中点上,又

(1)求证:
(2)若,求直线所成角的余弦值;
(3)若平面与平面所成的角为,求的值。
答案
(1)利用两直线的方向向量垂直证明线线垂直;(2);(3)
解析

试题分析:因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影,所以PO⊥底面ABCD.以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系o﹣xyz(如图).

(1)设BC=a,OP=h则依题意得:B(a,0,0),A(﹣a,0,0),P(0,0,h),C(a,a,0),D(﹣a,2a,0).
=(2a,a,0),=(﹣a,2a,﹣h),
于是=﹣2a2+2a2=0,∴PD⊥AC; 4分
(2)由PO=BC,得h=a,于是P(0,0,a),5分
=(2a, 0,0),=(﹣a,2a,﹣a),
=﹣2a2,cos<>==
∴直线PD与AB所成的角的余弦值为; -8分
(3)设平面PAB的法向量为m,可得m=(0,1,0),
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
=(a,a,﹣h),=(﹣a,2a,﹣h),
,解得n=(1,2,),∴m•n=2,
cos<m,n>=,∵二面角为60°,∴=4,
解得=,即=.       12分
点评:运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上,它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题,淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法,强化了代数运算,从而降低了思维难度
核心考点
试题【如图,在四棱锥中,顶点在底面内的射影恰好落在的中点上,又,且(1)求证:;(2)若,求直线与所成角的余弦值;(3)若平面与平面所成的角为,求的值。】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
在如图所示的多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1。

(1)请在线段CE上找到一点F,使得直线BF∥平面ACD,并证明;
(2)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小;
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面

(Ⅰ) 若点的中点,求证:平面
(II)若点为线段的中点,求二面角的正切值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.

(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,矩形中,平面的中点.

(1)求证:平面
(2)若,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,在直四棱柱中,底面为平行四边形,且的中点.

(1) 证明:∥平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
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