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题目
题型:不详难度:来源:
已知在长方体中,点为棱上任意一点,.

(Ⅰ)求证:平面平面
(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为
解析

试题分析:(Ⅰ)求证:平面平面,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,由长方体的性质,易证平面,从而可证平面平面;(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值,求二面角问题,可用传统方法,找二面角的平面角,但本题不易找,另一种方法,用向量法,本题因为是长方体,容易建立空间坐标系,以轴,以轴,以轴建立空间直角坐标系,分别设出两个平面的法向量,利用向量的运算,求出向量,即可求出二面角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)为正方形                      2分
平面                         4分
平面  平面平面      6分
(Ⅱ)建立以轴,以轴,以轴的空间直角坐标系     7分
设平面的法向量为
                    9分
设平面的法向量为
                      11分
                             13分
二面角的余弦值为                     14分
核心考点
试题【已知在长方体中,点为棱上任意一点,,.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值.】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,平面平面,四边形是正方形,四边形是矩形,且的中点,则与平面所成角的正弦值为(   )
A.B.C.D.

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如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,底面, ,的中点,的中点.

(Ⅰ)证明:直线平面
(Ⅱ)求异面直线所成角的大小;
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如图,四棱锥的底面是正方形,平面上的点,且.

(1)证明:
(2)若,求二面角的余弦值.
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已知等差数列的前n项和为,且,则过点的直线的一个方向向量的坐标可以是(    )
A.B.(2,4)C.D.(-1,-1)

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如图,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD为矩形,ADEF为梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2DE=2.

(Ⅰ)求异面直线EF与BC所成角的大小;
(Ⅱ)若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为,求AB的长.
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