题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AC⊥平面ABC′;
(2)求证:C′N∥平面ADD′;
(3)求二面角A-C′N-C的余弦值.
答案
解析
∴四边形ANCD是菱形,∴∠ACB=∠DCB=30°,
∴∠BAC=90°,即AC⊥AB,又平面C′BA⊥平面ABC,平面C′BA∩平面ABC=AB,∴AC⊥平面ABC′.
(2)证明:∵AD∥BC,AD′∥BC′,AD∩AD′=A,BC∩BC′=B,∴平面ADD′∥平面BCC′,又C′N⊂平面BCC′,∴C′N∥平面ADD′.
(3)解:∵AC⊥平面ABC′,AC′⊥平面ABC.
如图建立空间直角坐标系,
设AB=1,则B(1,0,0),C(0,,0),C′(0,0,),
N,∴′=(-1,0,),′=(0,-,),设平面C′NC的法向量为n=(x,y,z),则即
取z=1,则x=,y=1,∴n=(,1,1).
∵AC′⊥平面ABC,∴平面C′AN⊥平面ABC,又BD⊥AN,平面C′AN∩平面ABC=AN,∴BD⊥平面C′AN,BD与AN交于点O,O则为AN的中点,O,∴平面C′AN的法向量=.
∴cos〈n,〉==,
由图形可知二面角AC′NC为钝角,
所以二面角AC′NC的余弦值为-
核心考点
试题【在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∠ABC=60°,N是BC的中点,将梯形ABCD绕AB旋转90°,得到梯形ABC′D′(如图).(1)求证:AC⊥】;主要考察你对平面的法向量等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD;
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
(1)证明:平面EAC⊥平面PBD;
(2)若PD∥平面EAC,并且二面角B-AE-C的大小为45°,求PD∶AD的值.
(1)求证:平面AOD⊥平面ABCO;
(2)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.
(1)求证:面PCD⊥面PBD;
(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小;
(3)在棱PA上是否存在一点E,使得二面角A-BE-D的余弦值为?若存在,指出点E在棱PA上的位置,若不存在,说明理由.
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