题目
题型:不详难度:来源:
且∥,是中点,平面,
, 是中点.
(1)证明:平面平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)根据中位线可得∥,从而可证得∥平面。证四边形为平行四边形可得∥平面,从而可证得平面平面。(2)法一:延长、交于点,连结,则平面,易证△与△全等。过作的垂线,则与垂足的连线也垂直。由二面角的平面角的定义可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空间向量法。由题意可以为坐标原点建立空间直角坐标系。根据各点的坐标求出个向量的坐标,在根据数量积公式求各面的法向量,在用数量积公式求其两法向量夹角的余弦值。注意两法向量所成的角可能与二面角相等也可能为其补角。
试题解析:(1) 证明: 且∥,2分
则平行且等于,即四边形为平行四边形,所以.
6分
(2) 『解法1』:
延长、交于点,连结,则平面,易证△与△全等,过作于,连,则,由二面角定义可知,平面角为所求角或其补角.
易求,又,,由面积桥求得,所以
所以所求角为,所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
『解法2』:
以为原点,方向为轴,以平面内过点且垂直于方向为轴 以方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系.
则,,,
,,8分
所以,,
可求得平面的法向量为
又,,
可求得平面的法向量为
则,
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分
核心考点
举一反三
且.将此平面四边形沿折成直二面角,
连接,设中点为.
(1)证明:平面平面;
(2)在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,请确定点的位置;若不存在,请说明理由.
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求点到平面的距离.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
(1)求证:BC平面PBD:
(2)求直线AP与平面PDB所成角的正弦值;
(3)设E为侧棱PC上异于端点的一点,,试确定的值,使得二面角E-BD-P的余弦值为.
(1)证明:平面平面;
(2)若二面角为,求与平面所成角的正弦值.
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