题目

题型：不详难度：来源：

已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a，b满足|ka+b|=

3

|a-kb|（k＞0），
（1）求a与b的数量积用k表示的解析式f（k）；
（2）a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，请说明理由；若能，请求出相应的k值；
（3）求向量a与向量b的夹角的最大值．

答案

（1）由题，|

a

|=|

b

|=1且|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，
所以(k

a

+

b

)2=3(

a

-k

b

)2，
化简可得4k

a

•

b

=k2+1，
∴f(k)=

a

•

b

=

k2+1

4k

(k＞0)；
（2）若

a

⊥

b

，则

a

•

b

=

k2+1

4k

=0，而

k2+1

4k

=0无解，因此

a

和

b

不可能垂直；
若

a

∥

b

，则|

a

•

b

|=|

a

||

b

|即

k2+1

4k

=1，解得k=2±

3

，
综上，

a

和

b

不可能垂直；
当

a

和

b

平行时，k=2±

3

；
（3）设

a

与

b

夹角为θ，
则cosθ=

a • b

| a || b |

=

k2+1

4k

=

k

4

+

1

4k

=(

k

2

)2+(

1

2 k

)2
=(

k

2

-

1

2 k

)2+

1

2

≥

1

2

因此，当且仅当

k

2

=

1

2 k

即k=1时，cosθ有最小值为

1

2

，此时，向量

a

与

b

的夹角有最大值为60°．