题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三 动点D,E,M满足="t,"  =" t" ,
="t" , t∈[0,1].   
(Ⅰ) 求动直线DE斜率的变化范围;   
(Ⅱ) 求动点M的轨迹方程.

答案

(Ⅰ) k_DE∈[－1，1]．
(Ⅱ) 所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]

解析

解法一: 如图， (Ⅰ)设D(x₀，y₀)，E(x_E，y_E)，M(x，y)．由=t，


= t， 知(x_D－2，y_D－1)=t(－2，－2)． 
∴ 同理 ．
∴k_DE =  == 1－2t．
∵t∈[0，1] ， ∴k_DE∈[－1，1]．
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2，y+2t－1)=t(－2t+2t－2，2t－1+2t－1)
=t(－2，4t－2)=(－2t，4t²－2t)．
∴ ， ∴y=， 即x²=4y．∵t∈[0，1]， x=2(1－2t)∈[－2，2]．
即所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]
解法二: (Ⅰ)同上．
(Ⅱ) 如图， ="+" =" + " t =" +" t(－) = (1－t) +t，
=" +" = +t = +t(－) =(1－t) +t，
=" +=" + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t²)  + 2(1－t)t+t²．
设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，－1)， =(－2，1)得
消去t得x²=4y
∵t∈[0，1]， x∈[－2，2]．
故所求轨迹方程为: x²=4y， x∈[－2，2]