题目

题型：不详难度：来源：

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

，

b

的夹角为

π

3

，试求：
（1）

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦值．
（2）使向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为钝角时，λ的取值范围．

答案

∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

、

b

的夹角为

π

3

，
∴

a

•

b

=|

a

|×|

b

|cos

π

3

=1
（1）∵（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+2×1+4=7，（

a

-

b

）²=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=1-2×1+4=3，
∴|

a

+

b

|=

7

，|

a

-

b

|=

3

设

a

+

b

与

a

-

b

的夹角为α，则
cosα=

( a + b )( a - b )

| a + b |•| a - b |

=

1-4

7 × 3

=-

21

7

，
即

a

+

b

与

a

-

b

夹角的余弦值等于-

21

7

（2）根据题意，不存在λ值，使向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为π，
∴向量

a

+λ

b

与λ

a

-

b

的夹角为钝角时，可得
（

a

+λ

b

）（λ

a

-

b

）＜0，即λ

a

2+（λ²-1）

a

•

b

-λ

b

2＜0
将|

a

|=1，|

b

|=2和

a

•

b

=1代入，可得
λ+（λ²-1）-4λ＜0，整理得λ²-3λ-1＜0
解这个不等式，得

3- 13

2

＜λ＜

3+ 13

2

因此λ的取值范围是（

3- 13

2

，

3+ 13

2

）．