题目

题型：不详难度：来源：

已知平面上三个向量

a

，

b

，

c

的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°．
（1）求证：(

a

-

b

)⊥

c

；
（2）若|k

a

+

b

+

c

|＞1 （k∈R），求k的取值范围．

答案

（1）证明∵(

a

-

b

)•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

=|

a

|•|

c

|•cos120°-|

b

|•|

c

|•cos120°=0，
∴(

a

-

b

)⊥

c

．
（2）解|k

a

+

b

+

c

|＞1⇔(k

a

+

b

+

c

)2＞1，
即k2 

a

2 +

b

2+

c

2+2k

a

•

b

+2k

a

•

c

+2

b

•

c

＞1．
∵|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，且

a

，

b

，

c

相互之间的夹角均为120°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

•

b

=

b

•

c

=

a

•

c

=-

1

2

，
∴k²+1-2k＞1，即k²-2k＞0，
∴k＞2或k＜0．