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题目
题型:不详难度:来源:
已知抛物线y=x2上的两点A、B满足


AP


PB
,λ>0,其中点P坐标为(0,1),


OM
=


OA
+


OB
,O为坐标原点.
(1)求四边形OAMB的面积的最小值;
(2)求点M的轨迹方程.
答案
(Ⅰ)由


AP


PB
知A、P、B三点在同一条直线上,
设该直线方程为y=kx+1,
A(x1,x12),B(x2,x22).





y=kx+1
y=x2
,得x2-kx-1=0,
∴x1+x2=k,x1x2=-1,


OA


OB
=x1x2+x12x22=-1+(-1)2=0,


OA


OB

又OAMB是平行四边形,
∴四边形OAMB是矩形,
∴S=|


OA
|•|


OB
|
=


x21
+
x41


x22
+
x42

=-x1x2


(1+
x21
)(1+
x22
)

=


1+
x21
+
x22
+(x1x2)2

=


2+(x1+x2)2-2x1x2
=


4+k2

∴当k=0时,S取得最小值是2.
(Ⅱ)设M(x,y),





x=x1+x2
y=
x21
+
x22

消去x1和x2
得x2=y-2,
∴点M的轨迹是y=x2+2.
核心考点
试题【已知抛物线y=x2上的两点A、B满足AP=λPB,λ>0,其中点P坐标为(0,1),OM=OA+OB,O为坐标原点.(1)求四边形OAMB的面积的最小值;(2)】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知


a
=3


p
-2


q


b
=


p
+


q


p


q
是相互垂直的单位向量,则


a


b
=(  )
A.1B.2C.3D.4
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△ABC中,若


BC2
=


AB


BC
+


CB


CA
+


BC


BA
,则△ABC是(  )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
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已知抛物线y2=4x,过点(0,-2)的直线交抛物线于A、B两点,O为坐标原点.
(1)若


OA


OB
=4,求直线AB的方程.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点(n,0),求n的取值范围.
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已知


e
1


e
2是夹角为
3
的两个单位向量,


a
=


e
1-2


e
2


b
=k


e
1+


e
2,若


a


b
=0,则实数k的值为______.
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已知平面上三个向量|


a
|=|


b
|=|


c
|=2,它们之间的夹角都是120°.
(I)求


a


c
的值.
(II)求证:(


a
-


b
)⊥


c
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