题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线y=x²上的两点A、B满足

AP

=λ

PB

，λ＞0，其中点P坐标为（0，1），

OM

=

OA

+

OB

，O为坐标原点．
（1）求四边形OAMB的面积的最小值；
（2）求点M的轨迹方程．

答案

（Ⅰ）由

AP

=λ

PB

知A、P、B三点在同一条直线上，
设该直线方程为y=kx+1，
A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）．
由

y=kx+1 y=x2

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-1，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+x₁²x₂²=-1+（-1）²=0，
∴

OA

⊥

OB

．
又OAMB是平行四边形，
∴四边形OAMB是矩形，
∴S=|

OA

|•|

OB

|
=

x 21 + x 41

•

x 22 + x 42

=-x₁x₂

(1+ x 21 )(1+ x 22 )

=

1+ x 21 + x 22 +(x1x2)2

=

2+(x1+x2)2-2x1x2

=

4+k2

．
∴当k=0时，S取得最小值是2．
（Ⅱ）设M（x，y），
∴

x=x1+x2 y= x 21 + x 22

，
消去x₁和x₂，
得x²=y-2，
∴点M的轨迹是y=x²+2．