题目

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则

PM

•

PN

的最大值为______．

答案

令x=0，得y²=4，解得y=±2，取N（0，-2）．
令y=0，得x²=4，解得x=±2，取M（2，0）．
设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．
则

PM

•

PN

=（2-2cosθ，-2sinθ）•（（-2cosθ，-2-2sinθ）
=-2cosθ（2-2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）
=4sinθ-4cosθ+4
=4

2

sin(θ-φ）+4≤4+4

2

，当且仅当sin（θ-φ）=1时取等号．
∴

PM

•

PN

的最大值为 4+4

2

．
故答案为 4+4

2

．