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题目
题型:武昌区模拟难度:来源:
已知点P(x,y)与点A(-


2
,0),B(


2
,0)
连线的斜率之积为1,点C的坐标为(1,0).
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点Q(2,0)的直线与点P的轨迹交于E、F两点,求证


CE


CF
为常数.
答案
(本题满分12分)
(Ⅰ)直线PA和PB的斜率分别为
y
x+


2
y
x-


2
,(x≠±


2
),…(2分)
∵点P(x,y)与点A(-


2
,0),B(


2
,0)
连线的斜率之积为1,
y
x+


2
• 
y
x-


2
=1

即y2=x2-2,…(4分)
所求点P的轨迹方程为x2-y2=2,(x≠±


2
).…(5分)
(Ⅱ)设E(x1,y1),F(x2,y2),
设过点Q(2,0)的直线为y=k(x-2),…(6分)
将它代入x2-y2=2,
得(k2-1)x2-4k2x+4k2+2=0.…(7分)
由韦达定理,得





x1+x2=
4k2
k2-1
x1x2=
4k2+2
k2-1
,…(8分)


CE


CF
=(x1-1,y1)•(x2-1,y2)

=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2
=x1x2-(x1+x2)+1+k2(x1-2)•(x2-2)
=(1+k2)x1x2-(1+2k2)(x1+x2)+1+4k2
=(1+k2)•
4k2+2
k2-1
-(1+2k2)•
4k2
k2-1
+1+4k2
=-1.    …(10分)
当直线斜率不存在时,





x2-y2=2
x=2
,解得E(2,


2
),F(2,-


2
),
此时


CE


CF
=(1,


2
)•(1,-


2
)
=-1.    …(12分)


CE


CF
=-1

所以


CE


CF
为常数-1.…(12分)
核心考点
试题【已知点P(x,y)与点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为1,点C的坐标为(1,0).(Ⅰ)求点P的轨迹方程;(Ⅱ)过点Q(2,0)的直线与点P的轨迹交】;主要考察你对平面向量数量积的运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知圆O的半径为R,若A,B是其圆周上的两个三等分点,则


OA


AB
的值等于(  )
A.


3
2
R2
B.-
1
2
R2
C.-


3
2
R2
D.-
3
2
R2
题型:泉州模拟难度:| 查看答案
在△ABC中,已知|


AB
|=|


BC
|=|


CA
|=2
,则向量


AB


BC
=(  )
A.2B.-2C.2


3
D.-2


3
题型:肇庆二模难度:| 查看答案
若向量


a
=(1,1),


b
=(2,5),


c
=(3,x)
满足条件(8


a
-


b
)•


c
=30,则x=______.
题型:韶关一模难度:| 查看答案
已知不共线的两个向量


OA


OB
,|


OA
|=|


OB
|=3,若


OC


OA
+(1-λ)


OB
(0<λ<1),且|


OC
|=


3
,则|


AB
|的最小值为______.
题型:温州二模难度:| 查看答案
在边长为4的正方形ABCD中,E为BC中点,P为DE中点,则


PA


PB
的值为(  )
A.-5B.-4C.4D.5
题型:葫芦岛模拟难度:| 查看答案
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