题目

题型：不详难度：来源：

△ABC中，已知

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

（1）求

tanB

tanA

（2）若cosC=

5

5

，求A．

答案

（1）∵

AB

•

AC

=3

BA

•

BC

，
∴cbcosA=3cacosB，
即bcosA=3acosB，
由正弦定理

b

sinB

=

a

sinA

=2R，
得：sinBcosA=3sinAcosB，
又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，
在等式两边同时除以cosAcosB，
得tanB=3tanA；
∴

tanB

tanA

=3．
（2）∵cosC=

5

5

，0＜C＜π，
sinC=

1-cos2C

=

2 5

5

，
∴tanC=2，A+B+C=π，
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC=-2，
∴

tanA+tanB

1-tanA•tanB

=-2，将tanB=3tanA代入得：
3tan²A-2tanA-1=0，
即（tanA-1）（3tanA+1）=0，
∴tanA=1或tanA=-

1

3

，
∵cosA＞0，∴tanA=1，
∵A为三角形的内角，
∴A=

π

4

．