题目

题型：天津高考真题难度：来源：

如图，以椭圆（a＞b＞0）的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（c，0）（c＞b）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B，设直线BF是小圆的切线，
（1）证明c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明。

答案

（1）证明：由题设条件知，，故，
即，因此； ①
解：在中，，
于是，直线OA的斜率，
设直线BF的斜率为k，则，
这时，直线BF的方程为，
令x=0，则，
所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）；
（2）证明：由（1），得直线BF的方程为y=kx+a，且，②
由已知，设，
则它们的坐标满足方程组， ③
由方程组③消去y，并整理得，④
由式①、②和④，，
由方程组③消去x，并整理得，⑤
由式②和⑤，；
综上，得到，
注意到，
得
。