题目

题型：陕西省高考真题难度：来源：

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N。（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）如图，设，，把代入得，
由韦达定理得，，
∴，
∴N点的坐标为
设抛物线在点N处的切线l的方程为，
将代入上式得，
∵直线l与抛物线C相切，
∴，
∴
即。（2）假设存在实数k，使，则，
又∵M是AB的中点，
∴
由（1）知


∵轴，
∴
又

∴，解得
即存在，使。