题目

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)且

b

≠0，函数f（x）=2

a

•

b

-1
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（II）若

a

=

b

，分别求tanx及

cos2x

f(x)+1

的值．

答案

（I）函数f（x）=2

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos²x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
故函数的周期为

2π

2

=π，
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，故函数的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（II）若

a

=

b

，则sinx=

3

cosx，即 tanx=

3

．
∴

cos2x

f(x)+1

=

cos2x-sin2x

2 3 sinxcosx+2cos2x

=

1-tan2x

2 3 tanx+2

=

1-3

2 3 • 3 +2

=-

1

4

．