题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

已知椭圆C：（a＞b＞0）的左，右焦点为F₁、F₂，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设=λ。
（1）证明：λ=1-e²；
（2）确定λ的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形。

答案

解：（1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，
所以A、B的坐标分别是
由得
这里
所以点M的坐标是（）
由得
即，解得。
（2）因为PF₁⊥l，
所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，
要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，
即
设点F₁到l的距离为d，由
得
所以
于是
即当时，△PF₁F₂为等腰三角形。