题目

题型：云南省月考题难度：来源：

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证：λ₁+λ₂为定值。

答案

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，
因为抛物线的焦点坐标是（0，1），
所以由题意知b=1，
又有，
∴，
∴椭圆C的方程为。
（Ⅱ）设A、B、M点的坐标分别为，
易知右焦点F的坐标为（2，0），
，
∴，
将A点坐标代入到椭圆方程中，得，
去分母整理得，
同理，由，
∴λ₁，λ₂是方程的两个根，
∴。