给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

给定两个命题，P：对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

答案

对任意实数x都有ax²+ax+1＞0恒成立⇔a=0或

a＞0

△＜0

⇔0≤a＜4；
关于x的方程x²-x+a=0有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤

；
如果P正确，且Q不正确，有0≤a＜4，且a＞

∴

＜a＜4；
如果Q正确，且P不正确，有a＜0或a≥4，且a≤

∴a＜0．
所以实数a的取值范围为(-∞，0)∪(

，4)．

核心考点

试题【给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2-x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

下列有关命题的说法：
①命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=a-7相互垂直”的充要条件；
③已知命题p：对任意的x∈R，ax²+2x+1≥0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是[0，1）；
④“k=1”是“函数y=cos²kx-sin²kx的最小正周期为π”的充分不必要条件．
其中正确的有______．

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给出下列四个命题：
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②若a＜-2，则函数f（x）=ax+3在区间[-1，2]上存在零点；
③函数y=2

sinxcosx在[-

，

]上是单调递减函数；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4．
其中真命题的序号是______．（请把所有真命题的序号都填上）．

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给出以下命题：
（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；
（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；
（3）函数y=

x-1

1-x

与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；
（4）函数y=f（2x-1）的图象可以由函数y=f（2x）的图象按向量

=(1，0)平移得到．
则其中正确命题的序号是______（把所有正确的命题序号都填上）．

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已知命题p：关于x的方程x²-ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x²+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

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已知原命题：设a、b是实数，若a+b≤0，则a≤0或b≤0．写出逆命题、否命题、逆否命题，并判断上述四个命题的真假．

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