已知函数f（x）是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：（1）f（0）=0；（2）若 f（x）在[0，+∞）上有最小值-1，则f（x）在（-∞，0）上有最大值1； - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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已知函数f（x）是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：
（1）f（0）=0；
（2）若 f（x）在[0，+∞）上有最小值-1，则f（x）在（-∞，0）上有最大值1；
（3）若 f（x）在[1，+∞）上为增函数，则f（x）在（-∞，-1]上为减函数；
其中正确的序号是：______．

答案

（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），则f（-0）=-f（0），即f（0）=0，故（1）正确；
（2）f（x）在[0，+∞）上有最小值-1，即f（x）≥-1，当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
则f（-x）≥-1，所以f（x）=-f（-x）≤1，即f（x）在（-∞，0）上有最大值1，故（2）正确；
（3）因为奇函数的图象关于原点对称，所以奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，故（3）错误；
故答案为：（1），（2）．

核心考点

试题【已知函数f（x）是定义在 R上的奇函数，给出下列命题：（1）f（0）=0；（2）若 f（x）在[0，+∞）上有最小值-1，则f（x）在（-∞，0）上有最大值1；】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

命题“当a＜-b＜1时，

(a+b)2

|b+1|

a+b

b+1

”是否正确？为什么？

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设函数f（x）=a•sin（x+α₁）+b•sin（x+α₂），其中a，b，α₁，α₂为已知实常数，下列关于函数f（x）的性质判断正确的命题的序号是______．
①若f(0)=f(

)=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立；
②若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数；
③若f(

)=0，则函数f（x）为偶函数．

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下列四个命题
①若{a_n} 是等差数列，则2a_n+1=a_n+a_n+2 对一切n∈N^* 成立
②数列{a_n} 满足：an=

，n为奇数

，n为偶数

，则

lim

n→∞

an 存在；
③设{a_n} 是等比数列，则“a₁＜a₂＜a₃”是“数列{a_n} 是递增数列”的充要条件；
④若数列{a_n} 的前n 项和S_n=ka_n+1（k≠0，k≠1），则{a_n} 是等比数列．
其中正确的序号是______．

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定义在R上的函数y=f（x）满足条件：f（x）不是常值函数，且f（2-x）=f（x）与f（x-1）=f（x+1）对任意x∈R成立，给出下列四个命题：
①f（x）为周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）的图象关于y轴对称；
④f（x）的图象关于原点成中心对称．
其中所有正确命题的序号是______．

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命题“已知x、y∈R，如果x+y≠2，那么x≠0或y≠2．”是______命题．（填“真”或“假”）

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