题目

题型：不详难度：来源：

设y=f（x）是定义在R上的函数，给定下列三个条件：
（1）y=f（x）是偶函数；
（2）y=f（x）的图象关于直线x=1对称；
（3）T=2为y=f（x）的一个周期．
如果将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，那么构成的三个命题中真命题的个数有______个．

答案

①先证明由（1）和（2）作为条件，可以得到（3）成立
∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵y=f（x）是偶函数，可得f（1-x）=f（x-1）
∴f（x-1）=f（1+x），即f（x-1）=f[（x-1）+2]，函数y=f（x）是T=2的周期函数；
②再证明由（2）和（3）作为条件，可以得到（1）成立
∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1-x）=f（1+x）
又∵T=2为y=f（x）的一个周期，可得f（1+x）=f[（x+1）-2]，
∴f（1-x）=f（x-1），可得f（1-x）=f[-（1-x）]，
以x代替1-x，得f（x）=f（-x），故函数y=f（x）是偶函数；
③最后证明由（1）和（3）作为条件，可以得到（1）成立
∵T=2为y=f（x）的一个周期，
∴f（1+x）=f[（x+1）-2]=f（x-1），
又∵y=f（x）是偶函数，可得f（x-1）=f（1-x），
∴函数y=f（x）满足f（1-x）=f（1+x），可得y=f（x）的图象关于直线x=1对称．
综上所述，将上面（1）、（2）、（3）中的任意两个作为条件，余下一个作为结论，可以构成的三个真命题．
故答案为：3