如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别为棱DD1、AB上的点．已知下列命题：①AC1⊥平面B1EF；②三角形B1EF在侧面BCC1B1上 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，E、F分别为棱DD₁、AB上的点．已知下列命题：
①AC₁⊥平面B₁EF；
②三角形B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值2的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线；
④平面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．
其中，假命题有______（写出所有符合要求命题的序号）

答案

对于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因为A₁C⊥平面AC₁D，而两个平面面B₁EF与面AC₁D不一定平行．
对于②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三角形的一边是棱BB₁，而E点在面上的投影到此棱BB₁的距离是定值，故正确；
对于③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的交线一定平行于另一个平面，此结论正确；
对于④平面B₁EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如F与A重合，E与D重合时的二面角与F与B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确
综上所述假命题是①④
故答案为：①④

核心考点

试题【如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别为棱DD1、AB上的点．已知下列命题：①AC1⊥平面B1EF；②三角形B1EF在侧面BCC1B1上】；主要考察你对四种命题的概念等知识点的理解。[详细]

举一反三

给出下列三个命题：①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的否命题；②“若a＞b，则a²＞b²”的逆否命题；③已知a、b、c、d是实数，“若a=b，c=d，则a+c=b+d”的逆命题．其中真命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

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下列四个命题：①“a-b＞0”是“a²-b²＞0”的充分条件；②“tanα=1”是“α=

”的必要条件；③“xy≠0”是“x≠0或y≠0”的充要条件；④“两个三角形相似”是“两个三角形面积相等”的既不充分也不必要条件．其中真命题的序号是______（把符合要求的命题序号都填上）．

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写出命题“若abc=0，则a，b，c至少有两个为0”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．

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已知命题p：函数f（x）=x²+ax-2在[-1，1]内有且仅有一个零点．命题q：x²+3（a+1）x+2≤0在区间[

，

]内恒成立．若命题“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

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四位同学在研究函数f（x）=

1+|x|

（x∈R）时，分别给出下面四个结论：
①函数f（x）的值域为（-1，1）；
②若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是连续且递增的函数，但f（0）不存在；
④若规定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，则f_n（x）=

1+n|x|

对任意n∈N^*恒成立，
上述四个结论中正确的是______．

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