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题目
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已知:命题p:“对∀x∈[-1,3],f(x)=x3-12x>m”;命题q:“函数g(x)=x2-lnx2在[m,0)上是增函数”.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题.求实数m的取值范围.
答案
∵f(x)=x3-12x,∴f"(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),
当x∈[-1,3]时,f(x)在[-1,2]上递减,在[2,3]上递增
∴f(x)在x∈[-1,3]上的最小值为f(2)=-16               …(3分)
∴命题p:“对∀x∈[-1,3],f(x)=x3-12x>m”为真时,m的取值范围为m<-16.…(6分)
又,函数g(x)=x2-lnx2的定义域为{x|x≠0},且g(x)为偶函数
当x>0时,g(x)=x2-2lnx,g′(x)=2x-
2
x
=
2x2-2
x
=
2(x2-1)
x

当0<x<1时,g"(x)<0   当x>1时,g"(x)>0
所以,g(x)=x2-lnx2的单调增区间为[-1,0)和(1,+∞);     …(8分)
其单调减区间为(-∞,-1]和(0,1].
∴命题q:“函数g(x)=x2-lnx2在[m,0)上是增函数”为真时,m的取值范围为-1≤m<0,…(9分)
而由“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,得p,q中只能是一真一假.           …(10分)
(1)若p真而q假,则m的取值范围是“m<-16”且“m<-1或m≥0”,得m<-16      …(12分)
(2)若p假而q真,则m的取值范围是m≥-16且-1≤m<0,得-1≤m<0.…(14分)
所以,所求m的取值范围为m<-16或m≥-1                      …(15分)
核心考点
试题【已知:命题p:“对∀x∈[-1,3],f(x)=x3-12x>m”;命题q:“函数g(x)=x2-lnx2在[m,0)上是增函数”.若“p或q”为真命题,“p且】;主要考察你对四种命题等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知命题p:∃x∈R,x2+m<0;命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数m的取值范围是______.
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命题p:直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则αβ对以上两个命题,下列结论中正确的是(  )
A.命题“p且q”为真B.命题“p或q”为假
C.命题“p或¬q”为假D.命题“p且¬q”为真
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下列命题中正确的是(  )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”
C.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2+x+1>0”
D.命题“若x2>1,则x>1”的否命题为“若x2>1,则x≤1”
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设命题p:“x≠1”是“x3≠x”的充分不必要条件;命题q:
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
是不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0同解的充要条件,则以下是真命题的是(  )
A.p或qB.p且qC.¬p且qD.¬p或q
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已知f(x)=3sinx-πx,命题p:∀x∈(0,
π
2
),f(x)<0,则(  )
A.p是假命题,¬p:∀x∈(0,
π
2
),f(x)≥0
B.p是假命题,¬p:∃x0∈(0,
π
2
),f(x0)≥0
C.p是真命题,¬p:∀x∈(0,
π
2
),f(x)>0
D.p是真命题,¬p:∃x0∈(0,
π
2
),f(x0)≥0
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