题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.
(1)求证：若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判断(1)中命题的逆命题是否正确，并证明你的结论．

答案

（1）见解析
（2）逆命题是真命题，见解析

解析

解：(1)由a＋b≥0，得a≥－b.
由函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，得f(a)≥f(－b)，同理，f(b)≥f(－a)，
所以f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)，即f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)对于(1)中命题的逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，此逆命题为真命题．
现用反证法证明如下：
假设a＋b≥0不成立，则a＋b<0，a<－b，b<－a，
根据f(x)的单调性，得f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，故a＋b<0不成立，
即a＋b≥0成立，因此(1)中命题的逆命题是真命题．