题目

题型：不详难度：来源：

某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如如图所示．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

1

10

，路段CD发生堵车事件的概率为

1

15

）．
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量X，求X的概率分布．

答案

（1）记路段MN发生堵车事件为MN，MN∈{AC，CD，BD，BF，CF，AE，EF}．
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）
=1-P（

.

AC

）P（

.

CD

）P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]
=1-

9

10

×

14

15

×

5

6

=

3

10

；
同理，路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为
1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

239

800

（小于

3

10

）；
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为
1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

91

300

（大于

3

10

）．
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数X可取值为0，1，2，3．
P（X=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

561

800

，
P（X=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•FB）
=

1

10

×

17

10

×

11

12

+

9

10

×

3

20

×

11

12

+

9

10

×

17

20

×

1

12

=

637

2400

，
P（X=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

10

×

3

20

×

11

12

+

1

10

×

17

20

×

1

12

+

9

10

×

3

20

×

1

12

=

77

2400

，
P（X=3）=P（AC•CF•FB）=

1

10

×

3

20

×

1

12

=

3

2400

．
∴X的概率分布为