题目

题型：不详难度：来源：

在平面xoy中，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组

x-y≥0 x+y≥0

确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U中任取3个“整点”，求这些“整点”恰好有两个“整点”落在区域V中的概率；
（Ⅱ）在区域U中每次任取一个点，若所取的点落在区域V中，称试验成功，否则称试验失败．现进行取点试验，到成功了4次为止，求在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．

答案

（Ⅰ）平面区域U中的整点为：（2，0），（-1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（0，0），
（-1，0），（-2，0），（0，-2），（-1，-1），（0，-1），（1，-1）共13个；
平面区域V中的整点为：（0，0），（1，0），（2，0），（1，1），（1-1）共5个．
记“在区域U中任取3个“整点”，这些“整点”恰好有两个“整点”落在区域V中”为事件A．
则P(A)=

C 25 C 18

C 313

=

40

143

．
（Ⅱ）平面区域为V的面积为SV=

1

2

×

π

2

×22=π，平面区域为U的面积为SU=π×22=4π．
所以在区域U中每次任取一点，落在区域V中的概率为

π

4π

=

1

4

．
由题意得，记“到成功了4次为止，在此之前共有三次失败，且恰有两次连续失败”为事件A，
则P(A)=

A

24

(

1

4

)3(1-

1

4

)3×

1

4

=

81

4096

．